Sobre la conjetura del panal: Thomas C. Hales, Pappus de Alejandría, Teeteto y las abejas...

Sobre la conjetura del panal: Thomas C. Hales, Pappus de Alejandría, Teeteto y las abejas...

            

Muchos de nosotros, quizá los más observadores, nos hemos fijado en la cantidad de simetrías existentes en la naturaleza, lo cual no es, con certeza, una simple cuestión de estética. Como en las matemáticas, para la naturaleza la simetría tiene que ver con el lenguaje, proporcionando a los animales y a las plantas un medio para transmitir gran cantidad de mensajes, que van desde la superioridad genética hasta la información de tipo alimenticio. Frecuentemente la simetría es un signo con significado y puede, en consecuencia, interpretarse como una forma de comunicación muy básica, casi virgen. Para un insecto como la abeja la simetría es fundamental para la supervivencia.

La visión del ojo de la abeja es muy limitada. Mientras vuela explorando el mundo, su cerebro recibe imágenes que están tan distorsionadas como lo estarían para nosotros si observásemos a través de una gruesa plancha de cristal. La abeja mide con dificultad las distancias y por eso choca con los objetos constantemente. La abeja padece una especie de daltonismo. El fondo verde de los prados parece gris y el rojo se limita a destacar algo más claramente como una mancha negra sobre fondo gris. Pero incluso a pesar de esta deficiente visión, existe algo que arde intensamente en los ojos de la abeja: la simetría.

                  A la abeja le gustan las simetrías pentagonales, las hexagonales y las marcadamente radiales como las de la margarita o el girasol. La visión del ojo de la abeja ha evolucionado lo suficiente como para percibir estas formas significativas, porque en la simetría está el sustento. Las abejas que son atraídas por las formas con un cierto diseño son las que no pasarán hambre. Para la abeja, la supervivencia del mejor adaptado significa hacerse una experta en simetría. La abeja que no sepa leer los signos y las señales de sustento volará azarosamente por los campos, incapaz de situarse al nivel de sus competidores superiores que sí supieron localizar los diseños.

            Paralelamente, como la planta necesita asimismo atraer a la abeja hacia la flor para que la polinice y así perpetuar su herencia genética, también ella interviene en este diálogo natural. La flor que consigue una perfecta simetría atrae a más abejas y sobrevive más tiempo en la batalla evolutiva. La simetría es, por tanto, el lenguaje que utilizan la flor y la abeja para comunicarse entre sí.

            La flor o el animal con simetría están enviando una señal muy clara de la superioridad genética que tiene sobre sus vecinos. Por eso el mundo animal está poblado de formas que compiten por un equilibrio perfecto. Pero la simetría no es sólo un lenguaje genético que proclama a los compañeros potenciales las bondades del ADN que uno tiene. Concluida la búsqueda de néctar en flores simétricas, la simetría también impregna la vida doméstica de la abeja. Las abejas jóvenes, al mismo tiempo que se sacian con la miel recogida, van segregando trocitos de cera. La concentración de abejas hace que la temperatura de la colmena se mantenga aproximadamente a 35 ºC, lo que hace la cera suficientemente maleable como para que pueda ser modelada por las abejas obreras, que recogen las secreciones de cera y moldean las celdillas que las que se almacenará la miel. El retículo hexagonal que las abejas usan para ello explota otra de las facetas de la simetría.

            La simetría no sólo es una precursora del significado y del lenguaje, sino que es además el camino que sigue la naturaleza para resultar más eficaz y económica. Para la abeja, el retículo de hexágonos permite a la colonia maximizar su capacidad de almacenamiento de miel sin dejar de minimizar el consumo de cera en la construcción de las paredes de las celdillas.

Thomas C. Hales, de la Universidad de Pittsburgh, que en 1999 demostró la Conjetura del Panal.

Aunque las abejas han sabido durante millones de años que los hexágonos son las formas más eficaces para desarrollar los panales de miel, sólo muy recientemente los matemáticos han aclarado por completo la Conjetura del Panal: entre las infinitas elecciones de diferentes estructuras que las abejas podrán haber construido, los hexágonos son los que usan la cantidad mínima de cera para crear el máximo numero de celdas. Esta conjetura, que ha sido objeto de una profunda curiosidad por parte de los matemáticos y permanecía sin demostrar desde la fecha de su planteamiento por Pappus de Alejandría (c. 290 - c. 350), fue finalmente resuelta en 1999 por el matemático Thomas C. Hales (1958), de la Universidad de Pittsburg.

            Teeteto, compañero de Platón durante las discusiones en la Academia, fue precursor en la comprensión del principio que unía a los sólidos preferidos por los pitagóricos, a saber: el cubo, la pirámide y la esfera de doce pentágonos. Teeteto, que será recordado en última instancia por haber captado las matemáticas abstractas de la simetría, vislumbró que si se pretende una figura tridimensional con muchas simetrías es básico construirla a partir de polígonos bidimensionales simétricos. Y que si todas las caras tienen la misma forma se incrementa potencialmente la simetría del sólido resultante. Pero también reconoció que había límites para el tipo de polígonos que se pueden utilizar. Tal y como descubrió la abeja, los hexágonos pueden unirse únicamente para crear una superficie plana. Un dado de caras hexagonales es imposible. Las formas con más lados que el hexágono no son compatibles. Sencillamente, si se ponen dos juntas no hay espacio para insertar una tercera de la misma forma entre ellas. Así es que las caras tienen que construirse con formas de menos de seis lados.

Información más completa se puede encontrar aquí:

Hales, T. C. "The Honeycomb Conjecture" 8 Jun 1999.

Hales, T. C. "Cannonballs and Honeycombs." Notices Amer. Math. Soc. 47, 440-449, 2000.

Hales, T. C. "The Honeycomb Conjecture." Disc. Comp. Geom. 25, 1-22, 2001.

Hales, T. C. "The Hexagonal Honeycomb Conjecture".

Hales, T. C. "Background on the Hexagonal Honeycomb Conjecture".

Kepler, J. L'étrenne ou la neige sexangulaire. Translated from Latin by R. Halleux. Paris: J. Vrin éditions du CNRS, 1975. 

Mackenzie, D. "Proving the Perfection of the Honeycomb." Science 285, 1338-1339, 1999.

Szpiro, G. "Does the Proof Stack Up?" Nature 424, 12-13, 2003. Thompson, D'A. W. On Growth and Form, 2nd ed., compl. rev. ed. New York: Cambridge University Press, 1992.

Weyl, H. Symmetry. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1952.